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整数分解与重组手机h游戏「整数分解与重组」
2025-02-18 01:39

对给定的整数进行分解与重组,整合为满足某些特定条件的数组,是一项具有挑战性的设计,也是一类非常有趣的智力游戏

本节探索“双和3元2组”与“和积3元3组”两个案例,注意分解的实施与重组条件“双和”、“和积”的实现


把给定偶数2n分解为6个互不相等的正整数a、b、c、d、e、f,然后把这6个数分成(a、b、c)与(d、e、f)两个3元组,若这两个3元组具有和相等且倒数和也相等的双和相等特性

  • a+b+c=d+e+f

  • 1/a+1/b+1/c=1/d+1/e+1/f

则把3元组(a、b、c)与(d、e、f(约定a< b< c,d< e< f,a< d)称为基于n的双和3元2组

例如,对于n=26,存在基于26的双和3元2组(4、10、12)和(5、6、15

  • 4+10+12=5+6+15=26

  • 1/4+1/10+1/12=1/5+1/6+1/15=13/30

输入正整数n(n<=100,搜索基于n的所有双和3元2组,若没有探索到相应的双和3元2组,则输出“无解”

1.说明

因6个不同正整数之和至少为21,即整数n>=11

(1)、枚举循环设置

设置a,b与d,e枚举循环,注意到a+b+c=n,且a< b< c,因而a,b循环取值为

  • a:1~(n-3)/3,因为b比a至少大1,c比a至少大2,a的值最多为(n-3)/3

  • b:a+1~(n-a-1)/2,因为c比b至少大1,b的值最多为(n-a-1)/2

c=n-a-b,以确保a+b+c=n

设置d,e循环基本同上,注意到d>a,因而d起点为a+1

(2)、检验倒数和相等

把比较倒数和相等1/a+1/b+1/c=1/d+1/e+1/f 转化为比较整式

  • d*e*f*(b*c+c*a+a*b=a*b*c*(e*f+f*d+d*e

若等式不成立,即倒数和不相等,则返回

(3)、省略相同整数的检测

注意到两个3元组中若部分相同部分不同,不能有和相等且倒数和也相等,因而可省略排除以上6个正整数中是否存在相等的检测

若比较整式成立,打印输出和为n的双和3元2组,并用x统计解的个数

2.程序设计

 

3.程序运行示例及其注意事项

 

输入n=26,即得唯一一个双和3元2组如上面叙述所示,输入任何小于26的整数n均无解,可见存在双和3元2组的n最小值为26

注意:由循环设置可知枚举复杂度为O(n^4,显然不适宜对较大整数n的双和3元2组搜索


设n为正整数,试把整数3*n分解为9个互不相同的正整数a、b、c、d、e、f、g、h、i,然后把这9个正整数分成(a,b,c)、(d,e,f)与(g,h,i)共3个3元组,若这3个3元组具有和相等且积相等的两个相等特性

  • a+b+c=d+e+f=g+h+i=n
  • a*b*c=d*e*f=g*h*i

则把(a,b,c)、(d,e,f)与(g,h,i(约定a< b< c,d< e< f,g< h< i,a< d< g)称为一个基于n的和积3元3组

例如,给定n=45,探索到基于45的和积3元3组(4,20,21)、(5,12,28)和(7,8,30

  • 4+20+21=5+12+28=7+8+30=45

  • 4*20*21=5*12*28=7*8*30=1680

输入正整数n(n<=100,搜索基于n的所有和积3元3组,若没有探索到相应的和积3元3组,则输出“无解”

1.说明

因为9个不同正整数之和至少为45,故可知正整数n>14

(1)、设置枚举循环

注意到a+b+c=n,且a< b< c,因而a,b循环取值为

  • a:1~(n-3)/3,因为b比a至少大1,c比a至少大2,即a至多为(n-3)/3

  • b:a+1~(n-a-1)/2,因为c比b至少大1,即b至多为(n-a-1)/2

c=n-a-b,以确保a< b< c且a+b+c=n

设置d,e循环与g,h循环基本同上,只是注意到d>a,因而d起点为a+1;g>d,因而g起点为d+1

(2)、检测和积相等

在设置的枚举循环中,确保了3个3元组和相等

a*b*c=d*e*f=g*h*i,即积也相等,满足和积相等条件,搜索到基于n的一组和积3元3组,用x统计组数

(3)、省略相同整数的检测

注意到两个和相等的3元组中,若等号两边有部分数相同部分数不同,不可能有积相等(证略

因而可省略排除以上9个正整数中是否存在相同整数的检测,即在检测积相等时已排除出现整数相同的可能

3.程序设计

 

3.程序运行示例及其注意事项

 

请运行程序,探索存在基于n的和积3元3组的整数n至少为多大

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